Sin 90-v cos v varför

I tidigare segment äger oss repeterat dem primär trigonometriska sambanden samt sett hur oss är kapabel åtgärda enklare trigonometriska ekvationer.

I detta denna plats avsnittet bör oss presentera en antal trigonometriska formler vilket kunna underlätta på grund av oss då oss löser trigonometriska ekvationer.

Trigonometriska ettan

Om oss utgår ifrån enhetscirkeln, därför är kapabel enstaka punkt vid denna cirkels periferi anges som

$$P=(\cos\,v,\,sin\,v)$$

där v anger den vinkel vilket entydigt pekar ut just punkten P.

Med hjälp från Pythagoras sats förmå oss formulera en samband mellan cos v samt sin v.

Vi vet för att enhetscirkeln besitter radien 1 längdenhet, vilken utgör hypotenusan inom den rätvinkliga triangel liksom på grund av enstaka punkt P inom den inledande kvadranten kunna bildas från hörnen P (cos v, sin v), (cos v, 0) samt origo (0, 0).

Den en kateten kommer för att äga längden |cos v| samt den andra kateten längden |sin v|.

När oss idag vet detta kunna oss formulera Pythagoras sats utifrån dessa sidors kända längder:

$${(\sin\,v)}^{2}+{(\cos\,v)}^{2}={1}^{2}$$

Detta samband förmå oss förenklat nedteckna som

$$\sin^{2}v+\cos^{2}v=1$$

där sin²v samt cos²v existerar ett förenklad notation på grund av (sin v)² respektive (cos v)² likt oss kommer för att nyttja ifrån samt tillsammans med nu.

Det samband likt oss just formulerat kallas den trigonometriska ettan.

Vi bör för tillfället visa en modell var oss använder oss från den trigonometriska ettan

Visa tillsammans med hjälp från den trigonometriska ettan för att nästa samband gäller till ett vinkel x.

$$1-{\cos}^{2}x={(tan\,x\cdot \cos\,x)}^{2}$$

Sambandet gäller angående oss är kapabel notera ifall detta högra ledet sålunda för att detta motsvarar detta vänstra ledet.

oss försöker därför för att förenkla detta högra ledet, vilket oss utför genom för att dra oss mot minnes att

$$tan\,x=\frac{\sin\,x}{\cos\,x}$$

Vi får därför högerledet inom vår ursprungliga ekvation till

$${(tan\,x\cdot \cos\,x)}^{2}={\left (\frac{\sin\,x}{\cos\,x}\cdot \cos\,x \right )}^{2}=$$

$$={(\sin\,x)}^{2}={\sin}^{2}x$$

Vi skriver idag angående detta förenklade formulering tillsammans hjälp från den trigonometriska ettan:

$${\sin}^{2}x+{\cos}^{2}x=1$$

$${\sin}^{2}x+{\cos}^{2}x-{\color{Blue} {{\cos}^{2}x}}=1-{\color{Blue} {{\cos}^{2}x}}$$

$${\sin}^{2}x=1-{\cos}^{2}x$$

vilket noggrann motsvarar detta vänstra ledet inom detta ursprungliga sambandet.

Vi besitter alltså demonstrerat för att sambandet gäller.

Additions- samt subtraktionsformler

Utöver den trigonometriska ettan finns detta en antal formler vilket anger hur oss förmå nedteckna ifall trigonometriska formulering var oss adderar alternativt subtraherar vinklar.

För numeriskt värde vinklar v samt w äger oss nästa samband:

$$\sin(v+w)=\sin\,v\cdot \cos\,w+\cos\,v\cdot \sin\,w$$

$$\sin(v-w)=\sin\,v\cdot \cos\,w-\cos\,v\cdot \sin\,w$$

$$\cos(v+w)=\cos\,v\cdot \cos\,w-\sin\,v\cdot \sin\,w$$

$$\cos(v-w)=\cos\,v\cdot \cos\,w+\sin\,v\cdot \sin\,w$$

$$tan(v+w)=\frac{tan\,v+tan\,w}{1-tan\,v\cdot tan\,w}$$

$$tan(v-w)=\frac{tan\,v-tan\,w}{1+tan\,v\cdot tan\,w}$$

Låt oss titta vid en modell var oss får användning på grund av ett från dessa formler

Lös nästa ekvation tillsammans hjälp från additionsformeln till sinus.

$$\sin\,(x+{90}^{\circ})=\frac{1}{2}$$

Vi skriver ifall detta vänstra ledet inom ekvationen tillsammans med hjälp från additionsformeln på grund av sinus.

$$\sin\,(x+{90}^{\circ})=\sin\,x\cdot \cos\,{90}^{\circ}+\cos\,x\cdot \sin\,{90}^{\circ}$$

cos 90° samt sin 90° äger kända exakta trigonometriska värden:

$$\cos\,{90}^{\circ}=0$$

$$\sin\,{90}^{\circ}=1$$

Detta utför för att oss är kapabel förenkla vår ursprungliga ekvations vänstra led ytterligare:

$$\sin\,x\cdot \cos\,{90}^{\circ}+\cos\,x\cdot \sin\,{90}^{\circ}=$$

$$=\sin\,x\cdot 0+\cos\,x\cdot 1=$$

$$=0+\cos\,x=$$

$$=\cos\,x$$

Nu besitter oss nästa förenklade utgåva från den ursprungliga ekvationen:

$$\cos\,x=\frac{1}{2}$$

Denna trigonometriska ekvation besitter kända lösningar: dels ett svar vilket oss kunna beräkna tillsammans med miniräknare samt dels enstaka svar såsom oss är kapabel erhålla utifrån enhetscirkeln.

$$x=\arccos\,\left ( \frac{1}{2} \right )={60}^{\circ}$$

Eftersom cos v besitter perioden ° blir fullständiga lösningar för ekvationen:

$$x_1={60}^{\circ}+n \cdot {}^{\circ}$$

$$x_2={}^{\circ}+n \cdot {}^{\circ}$$

där n existerar heltal n=0, 1, 2, …

Här existerar grafiska lösningar till \(\frac{\pi}{3} \leqslant x \leqslant​ 11\frac{\pi}{3}\), var linje \(x = 0,5\) skär tillsammans kurvan \(\cosx\).

Formler till dubbla vinkeln

När oss idag besitter formulerat additions- samt subtraktionsformlerna bör oss även passa vid för att nämna numeriskt värde följdsatser.

Om dem numeriskt värde vinklarna liksom bör adderas existerar lika stora, detta önskar säga

$$v+v=2v$$

då besitter oss nästa samband:

$$\sin\,2v=2\cdot \sin\,v\cdot \cos\,v$$

$$\cos\,2v={\cos}^{2}v-{\sin}^{2}v$$

Med hjälp från trigonometriska ettan förmå oss även notera angående den andra formeln till dubbla vinkeln ovan som

$$\cos\,2v={\cos}^{2}v-{\sin}^{2}v=$$

$$=2\cdot {\cos}^{2}v-1=$$

$$=\cdot {\sin}^{2}v$$

Formeln till dubbla vinkeln gällande sinus härleder oss tillsammans med hjälp från additionsformeln till sinus:

$$\sin\,2v=\sin\,(v+v)=$$

$$=\sin\,v\cdot \cos\,v+\cos\,v\cdot \sin\,v=$$

$$=2\cdot \sin\,v\cdot \cos\,v$$

På motsvarande sätt härleder oss formeln på grund av dubbla vinkeln gällande cosinus:

$$\cos\,2v=\cos\,(v+v)=$$

$$=\cos\,v\cdot \cos\,v-\sin\,v\cdot \sin\,v=$$

$$={\cos}^{2}v-{\sin}^{2}v$$

Vi löser en modell tillsammans hjälp från enstaka från formlerna till dubbla vinkeln.

Visa tillsammans med hjälp från cosinusformeln på grund av dubbla vinkeln för att nästa samband gäller.

$$\frac{\cos\,2x}{{\cos}^{2}x}=1-{tan}^{2}x$$

Vi fokuserar vid detta vänstra ledet, var oss förmå tillämpa cosinusformeln till dubbla vinkeln vid täljaren:

$$\frac{\cos\,2x}{{\cos}^{2}x}=\frac{{\cos}^{2}x-{\sin}^{2}x}{{\cos}^{2}x}=$$

$$=\frac{{\cos}^{2}x}{{\cos}^{2}x}-\frac{{\sin}^{2}x}{{\cos}^{2}x}=1-\frac{{\sin}^{2}x}{{\cos}^{2}x}$$

Ettan står idag var oss önskar för att den bör artikel, sålunda oss fokuserar vid för att nedteckna angående den andra termen inom uttrycket:

$$\frac{{\sin}^{2}x}{{\cos}^{2}x}=\frac{\sin\,x\cdot \sin\,x}{\cos\,x\cdot \cos\,x}=$$

$$=tan\,x\cdot tan\,x={tan}^{2}x$$

Nu äger oss kommit fram mot detta önskade sambandet:

$$\frac{\cos\,2x}{{\cos}^{2}x}=1-{tan}^{2}x$$